확률 이론에서 켈리 기준(또는 켈리 전략 또는 켈리 베팅)은 베팅 규모를 정하는 공식입니다.
켈리 베팅 규모는 부의 대수의 기대값을 최대화하여 구할 수 있으며, 이는 예상 기하학적 성장률을 최대화하는 것과 동일합니다. 이 방법은 예상 수익률이 알려져 있다고 가정하며, 재산을 대수적으로 평가하는 베터에게 최적입니다. 1956년 벨 연구소의 연구원 J. L. 켈리 주니어가 이 기준을 설명했습니다. 명시된 가정에 따르면 켈리 기준은 장기적으로 다른 어떤 전략보다 높은 부를 창출합니다(즉, 베팅 횟수가 무한대로 늘어날 때 이론적 최대 수익률).
이 공식의 실제 사용은 도박에서 입증되었으며 투자 관리의 다각화를 설명하는 데도 동일한 아이디어가 사용되었습니다.
2000년대에는 켈리식 분석이 주류 투자 이론의 일부가 되었고 워렌 버핏, 빌 그로스 등 유명한 성공 투자자들이 켈리 방법을 사용한다는 주장이 제기되었습니다. 또한 시간 간 포트폴리오 선택을 참조하세요.
최적 베팅 예시
한 연구에서 각 참가자에게 25달러를 주고 60%의 확률로 헤드가 나오는 동전에 짝수 머니 베팅을 하도록 했습니다.
참가자는 30분 동안 플레이할 수 있었으므로 약 300번 베팅할 수 있었고 상금은 250달러로 제한되었습니다. 하지만 실험 참가자들의 행동은 최적과는 거리가 멀었습니다:
놀랍게도 참가자의 28%가 파산했고, 평균 지불금은 91달러에 불과했습니다.
최대 금액에 도달한 참가자는 21%에 불과했습니다. 61명의 참가자 중 18명은 한 번의 토스에 모든 것을 걸었고, 3분의 2는 실험의 어느 단계에서 꼬리 도박을 했습니다.
켈리 기준을 사용하고 실험의 배당률(250달러의 상한선과 한정된 테스트 기간 무시)을 기준으로 할 때, 올바른 접근 방식은 동전을 던질 때마다 자신의 자금의 20%를 베팅하는 것이며, 이는 매 라운드 평균 2.034%의 이득으로 계산됩니다.
이는 산술 비율인 4%가 아닌 기하학적 평균입니다(r = 0.2 x (0.6 - 0.4) = 0.04).
이 특정 게임에서는 상한선 때문에 각 토스에 대해 팟의 12%만 베팅하는 전략이 더 나은 결과를 가져올 것입니다(상한선에 도달할 확률 95%, 평균 지불금 $242.03).
수학적 금융에서 증권 가중치가 예상되는 기하학적 성장률을 최대화하면(이는 로그 자산을 최대화하는 것과 동일) 포트폴리오가 성장 최적 포트폴리오가 됩니다.
성장 최적 포트폴리오를 계산할 때 엄청난 가비지 인, 가비지 아웃 문제가 발생할 수 있습니다.
예를 들어, 아래 사례는 자산의 기대 수익률과 공분산 구조가 주어진 것으로 가정하지만, 이러한 매개변수는 기껏해야 추정치이거나 상당한 불확실성을 가진 모델입니다. 포트폴리오 가중치가 추정 오류의 함수인 경우, 성장 최적 포트폴리오의 사후 성과는 사전 예측과 크게 다를 수 있습니다. 매개변수 불확실성과 추정 오류는 포트폴리오 이론에서 큰 주제입니다. 불확실한 위험에 대응하기 위한 한 가지 방법은 켈리 기준보다 적게(예: 절반) 투자하는 것입니다.
비판
장기적으로 다른 어떤 전략보다 더 나은 성과를 낼 수 있다는 켈리 전략의 약속은 설득력이 있어 보이지만, 일부 경제학자들은 개인의 특정 투자 제약이 최적의 성장률에 대한 욕구를 무시할 수 있기 때문에 이에 대해 강력하게 반대하고 있습니다.
기존의 대안은 기대 효용 이론으로, 결과의 기대 효용을 최대화하도록 베팅의 크기를 결정해야 한다고 말합니다(대수 효용을 가진 개인에게 Kelly 베팅은 기대 효용을 최대화하므로 충돌이 없습니다. 또한 Kelly의 원본 논문은 유한하게 여러 번 플레이되는 도박 게임의 경우 효용 함수의 필요성을 명확히 명시합니다). 켈리 지지자들조차도 변동성을 줄이고 싶거나 유리(에지) 계산에서 비결정적 오류를 방지하고자 하는 등 다양한 실용적인 이유로 분수 켈리(켈리가 권장하는 금액의 일정 비율을 베팅)를 주장합니다. 구어체로 말하면 켈리 기준은 정확한 확률 값을 필요로 하는데, 실제 이벤트 결과에서 항상 가능하지는 않습니다. 도박꾼이 실제 승리 확률을 과대평가하면 계산된 기준값이 최적값과 차이가 발생하여 파멸의 위험이 높아집니다.